Question

图中的螺旋形由一系列直角三角形组成：△OA₀A₁是直角边为1的直角三角形，以△OA₀A₁的斜边OA₁为直角边，1为另一直角边，画第二个直角三角形…，依此类推
（1）求OA₃；
（2）写出第n个三角形的面积S_n；
（3）求s12+s22+s32+…+s102的值．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：规律型

分析：（1）根据勾股定理求出各个斜边长即可；
（2）根据勾股定理求出各个斜边长即可；
（3）分别求出各个直角三角形的面积，再代入求出即可．

解答：解：（1）由勾股定理得：OA₁=

12+12

=

2

，
OA₂=

12+( 2 )2

=

3

，
OA₃=

12+( 3 )2

=

4

=2；

（2）由（1）得：第n个直角三角形的直角边是1和

n

，
则第n个三角形的面积S_n=

1

2

×1×

n

=

1

2

n

；

（3）S₁=

1

2

×1×1=

1

2

，S₂=

1

2

×1×

2

=

1

2

2

，S₃=

1

2

×1×

3

=

1

2

3

，
∴s12+s22+s32+…+s102的值
=（

1

2

）²+（

1

2

2

）²+（

1

2

3

）²+…+（

1

2

10

）²
=

1

4

×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）
=

55

4

．

点评：本题考查了勾股定理的应用，注意：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是求出各个斜边的长．