Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，求点A到CD所在直线的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠A=30°，∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证；
（2）作AE⊥DC，交DC的延长线于E点．运用三角函数知识，在△OCD中求出OD，从而知AD长度，然后在△ADE中即可求出AE的长．
解答：解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°．∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC．
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形．
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
在△COD中，
又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°．
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．

（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=10，AD=AO+OD=15．
∵在Rt△ADE中，∠EDA=30°，
∴点A到CD边的距离为：AE=AD•sin30°=7.5．
点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．