Question

一组对边及一组对角相等的四边形是否是平行四边形？

Answer 1

答案：
解析：

已知如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，请问四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 　　(1)如图所示， 　　过A作AE⊥BC，过C作CF⊥AD，E，F为垂足， 　　在Rt△AEB和Rt△CFD中，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，AB＝CD， 　　∴Rt△AEB≌Rt△CFD．∴AE＝CF，BE＝DF． 　　连结AC，在Rt△AEC和Rt△CFA中， 　　∵AE＝CF，AC＝AC， 　　∴Rt△AEC≌Rt△CFA．∴AF＝CE． 　　∴∠ACE＝∠CAF．∴AD∥BC． 　　又∵AF＋FD＝AD＝CE＋EB＝BC， 　　∴四边形ABCD是平行四边形． 　　(2)如图所示，任作一等边三角形ABC，在底边BC上取一点E，使BE＞EC，连结AE，作∠AED＝∠EAC，取BD＝AC，连结AD，则四边形ABED满足本题条件，但它不是平行四边形． 　　由构造已知条件可知，在△AEC和△EAD中，AE＝AE，∠AED＝∠EAC，ED＝AC， 　　∴△AEC≌△EAD(S．A．S．)．∴∠D＝∠C． 　　即AB＝AC＝ED，∠B＝∠C＝∠D，满足题设条件． 　　又∵BE＞EC，EC＝AD， 　　∴BE＞AD．∴四边形ABCD不是平行四边形．