题目内容
11．探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形．（1）如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：相等，
线段AD与BE所成的锐角度数为60°；
（2）如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；
灵活运用：
如图3，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离．
分析 （1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠BEC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE=∠DCE；
（2）证明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，∠DAC=∠EBC，根据∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC，即可解答．
（3）如图3，以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE，连接CE，由（2）可得：BD=CE，证明△EBC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长度，即可解答．
解答 解：（1）如图1，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
由三角形的外角性质，∠DPE=∠PEA+∠DAC，
∠DCE=∠ADC+∠DAC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；
故答案为：相等，60；
（2）如图2，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，
∴∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC=60°．
（3）如图3，以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE，连接CE．
由（2）可得：BD=CE
∴∠EBC=60°+30°=90°，
∴△EBC是直角三角形
∵EB=60m BC=80m，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100（m）．
∴水池两旁B、D两点之间的距离为100m．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于（灵活运用）作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．
已知A、B、C三地在同一条笔直的公路上，甲、乙两人骑自行车分别从B、C两地前往A地．他们距A地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：| A． | 0 | B． | 0和1 | C． | 只有正数 | D． | 0和正数 |
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，BE交AD于点F．
将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A=24°．| A． | 温度由-3℃上升3℃后达到-6℃ | |
| B． | 零减去一个数得这个数的相反数 | |
| C． | $\frac{π}{3}$既是分数，又是有理数 | |
| D． | 20.12既不是整数，也不是分数，所以它不是有理数 |