题目内容

如图，等腰直角三角形ABC的斜边BC在x轴上，且BC=4，点D是BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴相交于点E．已知点B（-1，0），点P是AC上的一个动点（与点A、C不重合）．
（1）请直接写出A、E的坐标；
（2）若抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD，设△PBD的周长为L，请通过画图（不必写画法）找出点P在什么位置时，L取最小值，求点P的坐标，并判断此时点P是否在（2）中的抛物线上，请说明理由．

解：（1）A（1，2），E（0，1）；

（2）依题意得： $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1；

（3）通过画图找出点P的位置，如图所示．
设点D（1，0）关于直线AC的对称点D′
由对称性可求D′（3，2）
直线AC过A（1，2），C（3，0）
设y=k₁x+b₁，则 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ∴y=-x+3
直线BD′过点B（-1，0），D′（3，2）
设y=k₂x+b₂，则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ∴y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴交点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
当 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ 时，y=- $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$
∴点P在抛物线上．
分析：（1）由于三角形ABC是等腰直角三角形，而D是BC的中点，如果连接AD，那么AD就垂直平分BC，根据BC=4和B点的坐标即可得出BD=AD=CD=2，那么D的坐标是（1，0），C（3，0），A（1，2）．而∠ABC=45°，因此直角三角形BOE中，BO=OE=1，因此E的坐标是（0，1）．
（2）根据（1）的A，E的坐标，可用待定系数法求函数的解析式．
（3）当L最小时，点P应该是D关于AC对称的点与B点的连线，两线相交的交点就是P点．那么求P的坐标就要求出直线BD′和直线AC的解析式．根据D关于AC对称，可求出D′的坐标，那么有了B，D′，A，C四点的坐标，可用待定系数法求出两条直线的解析式，然后将两个函数式联立方程组即可求出P的坐标．然后将P的坐标代入（2）的函数式中，从而判断出P点是否在抛物线上．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，（3）中正确地作出P点的位置是解题的关键．