Question

6．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：DE•AB=BC•AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠BAC=∠EAD，根据三角形额外角的性质得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根据根据相似三角形对应边成比例得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AEB=∠ADC，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，
∠AED=∠ABE+∠BAE，
∵∠CBD=∠BAE，
∴∠ABC=∠AED，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴DE•AB=BC•AE；

（2）∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠AED+∠ADC=180°．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．