Question

18．如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）求证：EG=FG．
（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出GE=GF；
（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．

解答 解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEF=∠BFE=90°．
∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS），
∴GE=GF；

（2）结论依然成立．
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°
∵AE=CF
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=BF
在△BFG和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS），
∴GE=GF．

点评 本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．