题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB∥OA，点B的坐标为（- $数学公式$ ，4），OA= $数学公式$ CB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接PA，设点P的运动时间为t秒．设△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以PA为底△PAB是等腰三角形？

解：（1）∵B的坐标为（- $\text{[math]}$ ，4），OA= $\text{[math]}$ CB，
∴OA= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（- $\text{[math]}$ ，4）分别代入解析式y=kx+b得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数解析式为y= $\text{[math]}$ x+12；

（2）当0≤t＜ $\text{[math]}$ 时，如图1，
∵BP=BC-t= $\text{[math]}$ -t，
△PAB的高为4，
∴S= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ -t）×4=-2t+ $\text{[math]}$ ，（0≤t＜ $\text{[math]}$ ）．
当t≥ $\text{[math]}$ 时，如图2，
∵BP=t- $\text{[math]}$ ，△PAB的高为4，
∴S= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）×4=2t- $\text{[math]}$ ，（t≥ $\text{[math]}$ ）．

（3）当0≤t＜ $\text{[math]}$ 时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BD=4，
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当AB=BP时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥ $\text{[math]}$ 时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t- $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
解得t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$ （舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据点B的坐标为（- $\text{[math]}$ ，4），OA= $\text{[math]}$ CB，求出A点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式；
（2）由于△PAB的高即为B点纵坐标，BP=BC-t或BP=t- $\text{[math]}$ ，利用三角形面积公式即可直接求出S的表达式；
（3）求出AB的长，令AB=BP，即可求出△PAB是以PA为底的等腰三角形时t的值．
点评：本题考查了直角梯形的性质、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，综合性强，计算量大，要认真对待．