Question

【题目】如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点关于的对称点恰好落在上．

（1）求证：；

（2）过点作的切线，交的延长线于点．如果，求的直径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；

（2）利用切线的性质得到OC垂直于CD，从而得到OC∥AD，即可得到∠APO=∠COP，进一步得出∠APO=∠AOP，确定出为等边三角形，点，点关于对称，继而得出为等边三角形，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．

解：（1）证明：∵点关于的对称点恰好落在上．

∴∴，∴

又∵∴，

∴；

（2）解：连接，

∵为圆的切线，∴，又，

∴，∴，

∵，∴，

∴∵．

∴为等边三角形，，

又∵点，点关于对称

∴也为等边三角形，

∴，，

又∵，

在中，

又，

∴．