Question

【题目】如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，拆痕为．过点作交于，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动；

①当点与点重合时（如图2），求菱形的边长；

②若限定、分别在边、上移动，求的内切圆半径的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②

【解析】

（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝ADDE＝1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点D最远，此时Rt△CED的内切圆半径最大；当点P与点A重合时，点E离点D最近，此时Rt△CED的内切圆半径最小；据此求解可得．

证明：（1）∵折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，

∴，，，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴四边形为菱形；

（2）解：①∵四边形是矩形，

∴，，，

∵点与点关于对称，∴，

在中，，

∴；

在中，，．

∴，

解得：，

∴菱形的边长为；

②当点与点重合时，如图，点离最远，

此时的内切圆半径最大；

由①知，在中，，；

∵∠D=∠OGD=∠OMD=90°,OG=OM

∴四边形是正方形，

设正方形OMDG边长为，则，．

∴，解得；

当点与点重合时，如图所示：

点离点最近，此时的内切圆半径最小；

可知，在中，，则；

同理得，易得四边形是正方形，

设正方形边长为，则，，

∴，解得；

∴内切圆半径取值范围为．