Question

【题目】如图，抛物线交轴于、（左右）两点，交轴于点，且．

（1）如图（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（2）为第四象限抛物线上一点，连接，将线段沿着轴翻折，得到线段，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；

（3）如图（3）在（2）的条件下，是第一象限抛物线上的一点，轴交的延长线于，垂足是，过点作轴交轴于、交直线于点，连接，，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）当x=0时， y=c，则C(0,c)、B(c,0)、A(-c,0)，将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S△BCQ=·CD·(OB+OH)即可求解；

（3）证明MI=MP，CD=MQ，而由(2)知：CD=m，CD=PI，PI=2m，则IW=WP=m，由tan∠WMP=得tana=，而可得，由此可求解．

解：（1）当x=0时，y=c，

∴C(0,c)，

∴OC=c

∵OA=OB=OC

∴B(c,0)，A(-c,0)

代入解析式得：b=0，c=4或0(0不符合题意舍去)

∴抛物线的解析式为：

（2）∵点P在抛物线上，

则

∵P、Q关于y轴对称，

作OH⊥x轴于H，tan∠ABO=tan∠OBD，

则OD=m-4，OC=4，CD=m，

S△BCQ=·CD·(OB+OH)= m+2m，

（3）过点P作PK⊥x轴于点K，与MF的延长线交于点I，连接PQ，

设∠BAP=a，则∠APK=90°-a，

∵∠PMF=2∠BAP=2a，∠I=90°-a，

∴MI=MP，

过M作MW⊥IP于点W，则MQPW是矩形

∵CD∥QM，CD=WP=QM

∴CD=QM

由（2）知：CD=m，

∵CD∥PI，

∴CD=PI，PI=2m

∴IW=WP=m

∴∠WMP=∠BAP=a

∴tan∠WMP=PW∶WM=，

∴tana=，

∵，

∴，

解得：或4（舍去4）

∴点P(6,-5)