Question

函数y=-x²+ax+b的图象如图所示．
（1）求a，b的值；
（2）设点P是图象与x轴的另一个交点，求点P的坐标；
（3）求图象的顶点坐标及最大值．

Answer 1

解：（1）∵x=-=1，
∴a=2，
把（-1，0）代入y=-x²+2x+b得-1-2+b=0，
解得b=3；
（2）抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴P点坐标为（3，0）；
（3）当x=1时，y=-x²+2x+3=-1+2+3=4，
∴图象的顶点坐标为（1，4），最大值为4．
分析：（1）先根据抛物线的对称轴方程确定a的值，然后把（-1，0）代入解析式可计算出b的值；
（2）由于抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，然后令函数值为0，解方程求出对应的x的值即可得到P点坐标；
（3）把顶点的横坐标x=1代入抛物线解析式求出对应的函数值即可得到顶点坐标；由于开口向下，所以顶点的纵坐标为函数的最大值．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．