Question

已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）．

Answer 1

证明：延长AM到点E，使得：ME=MD，连接CE．
∵CM是DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵AB=AD，
∴∠E=∠CDE=∠ADB=∠B，
∵∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-∠BAD-∠ADB=∠B=∠E，
∴AC=AE，
AM=（AM+AM）
=（AM-MD+ME+AM）
=（AD+AE）
=（AB+AC），
即AM=（AB+AC）．
分析：延长AM到点E，使得：ME=MD，连接CE，根据等角对等边得出∠E=∠CDE=∠ADB=∠B，求出∠ACE=∠B=∠E，推出AC=AE，代入AM=（AM+AM）即可求出答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识点的理解和掌握，能推出AC=AE是解此题的关键．