Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-

1

2

x-1与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C为AB延长线上一点且BC=AB，抛物线y=ax²+bx-3过点A、点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使得DA=DC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线AB的解析式可以直接求出点A点B的坐标，再过点C作x轴的垂线，利用三角形相似可以求出C点的坐标．
（2）利用抛物线过A、C两点，代入解析式求出a、b的值就求出了解析式，再将解析式化为顶点式就求出了顶点坐标．
（3）由题意可知点D在AC地垂直平分线与对称轴的交点上，点B是AC的中点，过点B作BE⊥AC交x轴于点E，利用三角形相似可以求出E点的坐标，再求出BE的解析式，最后把对称轴代入BC的解析式就可以求出交点坐标D．

解答：解：（1）令y=0，则0=-

1

2

x-1，得x=-2
∴A（-2，0）
令x=0，则y=-

1

2

×0-1，得y=-1
∴B（0，-1）
过点C作CF⊥x轴于F，CF∥y轴
∵BC=AB
∴OF=OA=2，CF=2OB=2
∴C（2，-2）；

（2）∵A（-2，0），C（2，-2）在抛物线上
∴

0=4a-2b-3 -2=4a+2b-3

，解得

a= 1 2 b=- 1 2

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-

1

2

x -3
∴y=

1

2

(x-

1

2

)2-

25

8

∴抛物线的顶点坐标为（

1

2

，-

25

8

）；

（3）存在
理由如下：
∵D点在抛物线的对称轴上，且DA=DC
∴D点为对称轴与线段AC的垂直平分线的交点
设线段AC的垂直平分线交x轴于E，则有△BOE∽△AOB
∴

OE

OB

=

OB

OA

，即

OE

1

=

1

2

，得OE=

1

2

∴E（

1

2

，0）
设直线BE的解析式为：y=kx+b，则有

-1=b 0= 1 2 k+b

得

k=2 b=-1

∴直线BE的解析式为：y=2x-1
把x=

1

2

代入y=2x-1得y=0
D（

1

2

，0）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了求函数的解析式与坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的运用，垂直平分线的性质等多个知识点．