Question

已知：如图，在⊙O中，点A、B在圆上，BC∥OA，交⊙O于点D，且OC⊥OB，∠OCA=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=1，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）由BC∥OA得AOC=∠OCB．又因为∠OCA=∠B，所以△ACO∽△OBC．∠CAO=∠BOC．由OC⊥OB，得∠BOC=90°．得到∠CAO=90°又由OA是半径，从而求得．
（2）过点O作OE⊥BC于点E．可得，四边形ACEO是矩形，DE=BE．所以CE=OA=OB=1．设BE=x，则BC=CE+BE=1+x．由∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，得△BOC∽△BEO．得到

OB

BE

=

BC

BO

求得x，而得到BD=2BE=-1+

5

．

解答：（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠AOC=∠OCB．（1分）
又∵∠OCA=∠B，
∴△ACO∽△OBC．
∴∠CAO=∠BOC．
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°．
∴∠CAO=90°．（2分）
又∵OA是半径，
∴AC是⊙O的切线．（3分）

（2）解：过点O作OE⊥BC于点E．
可得，四边形ACEO是矩形，DE=BE．
∴CE=OA=OB=1．（4分）
设BE=x，则BC=CE+BE=1+x
∵∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，
∴△BOC∽△BEO．
∴

OB

BE

=

BC

BO

．
即

1

x

=

1+x

1

．
∴x²+x-1=0．
解得x=

-1± 5

2

（舍负）．
∴BE=

-1+ 5

2

．（5分）
∴BD=2BE=-1+

5

．（6分）

点评：本题考查了切线的判定和性质，主要考查了切线的判定和线段的求法．难度中等，需要仔细计算，思路性强．