题目内容

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC的中线AD上的任意一点（不与

点A重合．将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ，使∠PAQ=∠BAC，连接BP，CQ
（1）求证：BP=CQ．
（2）设直线BP与直线CQ相交于点E，∠BAC=α，∠BEC=β，
①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

分析：（1）由∠PAQ=∠BAC，等式左右两边都减去∠PAC，得到∠BAP=∠CAQ，由旋转得到AP=AQ，再由AB=AC，利用SAS得出△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的对应边相等可得证；
（2）①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），α=β，理由为：由（1）知△ABP≌△ACQ，得到对应角∠ABP=∠ACQ，再由一对对应角相等，利用三角形的内角和定理得到∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合），如图所示，同理可得α与β之间相等或互补．

解答：（1）

证明：∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC，即∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC

∠BAP=∠CAQ

AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）解：①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），此时α=β，理由如下：
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABO和△ECO中，∠AOB=∠EOC，∠ABP=∠ACQ，
∴∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合），α与β之间的数量关系是相等或互补，
相等理由同①；互补理由为：如图所示，
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
又∠ACQ=∠ECO，
∴∠ABP=∠ECO，又∠EOC=∠AOB，
∴△ECO∽△AOB，
∴∠CEO=∠OAB，
∵∠PEQ+∠CEO=180°，
∴∠PEQ+∠BAC=180°，即α+β=180°．