Question

【题目】已知点是线段上与点不重合的一点，且绕点逆时针旋转角得到绕点顺时针旋转角得到，连接

（1）如图1，当时，求的度数；

（2）如图2，当点在的延长线上时，求证： ；

（3）如图3，过的中点作，过的中点作， 与交于点，连接，若，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；

（3）首先连结QB，作，利用HL得出，利用角度的计算得出，利用勾股定理求得PQ的长，再证明，求得PM的长，再利用勾股定理求出即可．

（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．
∵α=90°，
∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，
∴∠APP1=∠BPP2=45°，
∴∠P1PP2=180°-∠APP1-∠BPP2=90°；

（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=90°，

∴∠P1PP2=180°-（∠APP1+∠BPP2）=180°-2(90°)=，

在△P2P1P和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，
又∵∠PP2P1=∠AP2P，
∴△P2P1P∽△P2PA，

∴，

∴；

（3）证明：如图，连接QB，并过A作，垂足为M，

则，，

∵1，2分别为PB，P2B的中垂线，，

∴QP=QB，PE=BE=BF=，

又∵BQ=BQ，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在中，，

且AP=6，QE=1，

∴，，

∴中，．