题目内容
如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连
接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．
接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．
（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
∴DC的中点O即为圆心；
连接OE，又知BE是圆O的切线，
∴∠EBO+∠BOE=90°；
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C；
又∵OE=OC，
∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°．
（2）在Rt△ABC中，AC=
=
，
∴EC=
AC=
，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴
=
，
∴DC=
，
∴△DEC外接圆半径为
．
∴∠DEC=90°，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
∴DC的中点O即为圆心；
连接OE，又知BE是圆O的切线，
∴∠EBO+∠BOE=90°；
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C；
又∵OE=OC，
∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°．
（2）在Rt△ABC中，AC=
| AB2+BC2 |
| 5 |
∴EC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴
| AC |
| DC |
| BC |
| EC |
∴DC=
| 5 |
| 4 |
∴△DEC外接圆半径为
| 5 |
| 8 |
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