Question

9．我市AAAA景区有一处景观奇异的望天洞，D点是望天洞的入口，游人从入口进洞后，可经山洞到山顶的出口亭A处观光，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为120米，坡角为∠DBC=10°，在B出测得A的仰角∠ABC=40°，在D出测得A的仰角∠ADF=85°，过点D作地面BE的垂线，垂足为C．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求索道AB的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数；
（2）首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．

解答 解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°，
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°；

（2）过点D作DG⊥AB于点G．
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°，
又∵BD=100，
∴GD=BD=100×$\frac{1}{2}$=50，
∴GB=BD×cos30°=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$，
在Rt△ADG=105°-60°=45°，
∴GD=GA=50，
∴AB=AG+GB=50+50$\sqrt{3}$，
答：索道长（50+50$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查仰角的定义及直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，正确的构造出直角三角形是解题关键．