题目内容
用两个边长为2的全等的等边△ABC与△ACD拼成一个四边形ABCD，把一个含60°角的直角三角尺与此四边形重合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转（旋转角小于120°）．
（1）当三角尺的两边分别与四边形ABCD的两边BC、CD相交于点E、F时，如图（1），
①求证：BE=CF；
②重叠部分（四边形AECF）的面积为 ．
（2）当三角尺的两边分别与四边形ABCD的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图（2），
①BE与CF还相等吗？简要说明理由；
②重叠部分的面积 （填“改变”或“不变”）
（3）若重叠部分面积保持不变，则旋转角a的取值范围是 ．
（1）当三角尺的两边分别与四边形ABCD的两边BC、CD相交于点E、F时，如图（1），
①求证：BE=CF；
②重叠部分（四边形AECF）的面积为
（2）当三角尺的两边分别与四边形ABCD的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图（2），
①BE与CF还相等吗？简要说明理由；
②重叠部分的面积
（3）若重叠部分面积保持不变，则旋转角a的取值范围是
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）①由已知易得：∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，即可判定△ABE≌△ACF，则可证得BE=CF；
②易求得等边△ABC的面积，继而可得S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=
；
（2）①根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；
②此时重叠部分为△ADE，且S△ADE＜S△ACD，可得重叠部分的面积改变；
（3）根据题意得：当E在边BC上时，重叠部分面积保持不变，可得旋转角a的取值范围是：0°≤α≤60°．
②易求得等边△ABC的面积，继而可得S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=
| 3 |
（2）①根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；
②此时重叠部分为△ADE，且S△ADE＜S△ACD，可得重叠部分的面积改变；
（3）根据题意得：当E在边BC上时，重叠部分面积保持不变，可得旋转角a的取值范围是：0°≤α≤60°．
解答：（1）①证明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
②过点A作AH⊥BC于点H，
∴AH=AB•sin60°=2×
=
，
∴S△ABC=
×2×
=
，
∵△ABE≌△ACF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=
；
故答案为：
；
（2）①BE=CF．
证明：连接AC，BE，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
②改变．
∵此时重叠部分为△ADE，且S△ADE＜S△ACD，
又∵S△ABC=S△ACD=
，
∴S△ADE＜
，
即重叠部分的面积改变；
故答案为：改变；
（3）根据题意得：当E在边BC上时，重叠部分面积保持不变，
即旋转角a的取值范围是：0°≤α≤60°．
故答案为：0°≤α≤60°．
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
在△ABE和△ACF中，
|
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
②过点A作AH⊥BC于点H，
∴AH=AB•sin60°=2×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴S△ABC=
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| 2 |
| 3 |
| 3 |
∵△ABE≌△ACF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=
| 3 |
故答案为：
| 3 |
（2）①BE=CF．证明：连接AC，BE，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
在△ABE和△ACF中，
|
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
②改变．
∵此时重叠部分为△ADE，且S△ADE＜S△ACD，
又∵S△ABC=S△ACD=
| 3 |
∴S△ADE＜
| 3 |
即重叠部分的面积改变；
故答案为：改变；
（3）根据题意得：当E在边BC上时，重叠部分面积保持不变，
即旋转角a的取值范围是：0°≤α≤60°．
故答案为：0°≤α≤60°．
点评：此题考查了旋转变换、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
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| C、50° | D、60° |