Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 在 轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点 在第一象限，线段 ， 的长是一元二次方程 的两根，，．

（1）直接写出点的坐标 点 C 的坐标 ；

（2）若反比例函数的图象经过点，求 的值；

（3）如图过点作 轴于点 ；在轴上是否存在点 ，使以，， 为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），．（2）；（3）存在， 或 或 或 或

【解析】

（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出两根即可得到点A，C的坐标；

（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC=45°可知AE=BE，设BE=x，用勾股定理可得CE=，根据AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值；

（3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标．

（1）解一元二次方程 ，

解得：，

所以 ，

所以 ，；

（2） 如图，过点 作 ，垂足为 ，

∵ ，

∴ ，

设，

∵ =12，

∴ EC=12-x，

在RtΔBEC中，，

∴

整理得：，

解得：（不合题意舍去），，

∴ ，，

∴ ，

把代入，得 ；

（3）存在．

如图2，

若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=2或OP=6，

∴P（0，2）或P（0，6）；

如图3，

若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则，即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如图4，

若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则，即，

解得：OP=4+2或OP=4-2（不合题意舍去），

∴P（0，4+2）；

如图5，

若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=-4+2或-4-2（不合题意舍去），

则P点坐标为（0，4-2）

故点 的坐标为： 或 或 或 或