题目内容
【题目】如图1，在
中，
，
，点
、
分别在边
、
上，
，连结
，点
、
、
分别为
、、
的中点．
（1）观察猜想图1中，线段
与
的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明把
绕点
逆时针方向旋转到图2的位置，连结
、
、
，判断
的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若
，
，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）
，
；（2）
是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为
.
【解析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝
CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出
得出
，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出
，得出
，同（1）的方法得出
，
，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出
最大时，
的面积最大，进而求出
，
，即可得出
，最后用面积公式即可得出结论．
解：（1）∵点
、
是
、
的中点
∴
，
∵点、
是、
的中点
∴
，
∵
，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）结论：是等腰直角三角形．
证明：由旋转知，
∵，
∴
∴
，
∵由三角形中位线的性质可知，，
∴
∴是等腰三角形
∵同（1）的方法得，、
同（1）的方法得， 、
∴
∴
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，
∴最大时，的面积最大
∴
且在顶点
上面时，
，连接AM，AN，如图：
∵在
中，
，
∴
∵在
中，
，
∴
∴
∴
．
故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为
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