Question

20．各边相等且各个内角相等的三角形称为等边三角形．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高．动点D在射线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=60度；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在射线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质：等边三角形的每一个内角都等于60°进行解答；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
故答案为：60；

（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：∵AD为等边三角形的高，
∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，∠ACB=60°，
①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则
∠ABE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°

②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
综上所述，当动点D在射线AM上时，∠AOB为定值60°．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．解题时注意：全等三角形的对应角相等；等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．