Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x轴、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，求：
（1）线段OA的长为______；
（2）若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是______．

Answer 1

解：（1）∵点A（3，4），
∴OA==5；

（2）如图，若AP=OA，
则点P的坐标为：（8，4）或（-2，4），
若AP=OP，设点P的坐标为：（x，4），
则（x-3）²=x²+4²，
解得：x=-，
∴点P的坐标为（-，4）；
若OA=OP，设P的坐标为（x，4），
则x²+4²=5²，
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：（-3，4）；
∴所有满足条件的点P的坐标是：（8，4）或（-2，4）或（-，4）或（-3，4）．
故答案为：（1）5；（2）（8，4）或（-2，4）或（-，4）或（-3，4）．
分析：（1）由点A（3，4），利用勾股定理，即可求得线段OA的长；
（2）分别从若AP=OA，AP=OP与OA=OP去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了等腰三角形的性质以及两点间的距离公式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．