题目内容
如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出它们的关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明；
（3）若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？
分析：（1）从图一的规律可得S1=S2+S3；
（2）根据勾股定理求得等边三角形的高，再求出面积，可得S1=S2+S3；
（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
=
，
=
，∴
=
=1，∴S1=S2+S3．
（2）根据勾股定理求得等边三角形的高，再求出面积，可得S1=S2+S3；
（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
| S2 |
| S1 |
| a2 |
| c2 |
| S3 |
| S1 |
| b2 |
| c2 |
| S2+S3 |
| S1 |
| a2+b2 |
| c2 |
解答：解：由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2．
（1）S1=S2+S3
（2）S1=S2+S3，证明如下：
显然S1=
c2，S2=
a2，S3=
b2，
∴S2+S3=
（a2+b2）=
c2=S1．
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似．
∴
=
，
=
，
∴
=
=1．
∴S1=S2+S3．
即凡是向△ABC外做相似多边形，S1=S2+S3．
（1）S1=S2+S3
（2）S1=S2+S3，证明如下：
显然S1=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴S2+S3=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似．
∴
| S2 |
| S1 |
| a2 |
| c2 |
| S3 |
| S1 |
| b2 |
| c2 |
∴
| S2+S3 |
| S1 |
| a2+b2 |
| c2 |
∴S1=S2+S3．
即凡是向△ABC外做相似多边形，S1=S2+S3．
点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用．
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