Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形；当a²+b²≠c²时，利用代数式a²+b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为

 

三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为

 

三角形．
（2）猜想，当a²+b²

 

c²时，△ABC为锐角三角形；当a²+b²

 

c²时，△ABC为钝角三角形．
（3）试证明（2）中猜想的正确性．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x．根据勾股定理，得a²+b²=c²+2ax，从而可证；
当△ABC是钝角三角形时，a²+b²＜c²；理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD²=a²-x²，根据勾股定理，得a²+b²+2bx=c²，从而可证．

解答：解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=

62+82

=10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；

（2）当a²+b²＞c²时，△ABC为锐角三角形；
当a²+b²＜c²时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；

（3）若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，

则有BD=a-x．
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
则a²+b²=c²+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a²+b²＞c²．
当△ABC是钝角三角形时，a²+b²＜c²；
理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．

设CD为x，则有BD²=a²-x²，
根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．

点评：本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．