Question

三角形ABC中，点D，点E，点F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接AF，DE．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当三角形ABC满足什么条件时，AF=DE？请说明理由；
（3）当三角形ABC满足什么条件时，AF⊥DE？请说明理由．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接DF，EF，根据点D，点E，点F分别是AB，AC，BC边上的中点可知EF∥AB，EF=

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2

AB，DF∥AC，DF=

1

2

，故可得出四边形ADFE是平行四边形，由此可得出结论；
（2）根据矩形的对角线相等即可得出结论；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：连接DF，EF，
∵点D，点E，点F分别是AB，AC，BC边上的中点，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB．
同理，DF∥AC，DF=

1

2

，
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分；

（2）解：△ABC是直角三角形．
∵AF=DE，
∴四边形ADFE是矩形，
∴∠A=90°，即△ABC是直角三角形；

（3）解：△ABC是等腰三角形．
当AF⊥DE时，四边形ADFE是菱形，
∵DE∥BC，AF⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．