题目内容
【题目】在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系（直接写出结论，不需要证明）
【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AF；（3）OC=OB+AF.
【解析】试题分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）先说明BD与AE有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系；
（3）先猜想OC、AF、OB之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可．
试题解析：(1)∵点C坐标是(1,0),点A的坐标是(3,1)
∴AD=OC，
在Rt△ADC和Rt△COB中， 
，
∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL)，
∴OB=CD=2，
∴点B的坐标是(0，2)；
(2)BD=2AF，
理由：作AE的延长线交BC的延长线于点F，如下图所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，AE⊥y轴于E，
∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠DBC=∠FAC，
在△BDC和△AFC中，
，
∴△BDC≌△AFC(ASA)
∴BD=AF，
∵BE⊥AE，y轴恰好平分∠ABC，
∴AF=2AE，
∴BD=2AF；
(3)OC=OB+AF，
证明：作AE⊥OC于点E，如下图所示，
∵AE⊥OC，AF⊥y轴，
∴四边形OFAE是矩形，∠AEC=90°，
∴AF=OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，∠BOC=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△BOC和△CEO中，
，
∴△BOC≌△CEO(AAS)
∴OB=CE，
∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，
∴OC=OB+AF.
