Question

【题目】在矩形中，，，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系．

(Ⅰ)将矩形绕点逆时针旋转至矩形，如图1，经过点，求旋转角的大小和点，的坐标；

(Ⅱ)将图1中矩形沿直线向左平移，如图2，平移速度是每秒1个单位长度．

①经过几秒，直线经过点；

②设两矩形重叠部分的面积为，运动时间为，写出重叠部分面积与时间之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)旋转角；，；(Ⅱ)①；②（），（）.

【解析】

(Ⅰ)根据OA=4，OC=2，BC=OA，可求得BC=2CD，则可以求出∠BCD=60°，即可求出旋转角∠OCD的度数；作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，在Rt△CDM中，根据三角函数即可求得DM，CM的长，从而求得D的坐标，在Rt△CFN中，根据三角函数即可求得CN，FN的长，即得F的坐标；(Ⅱ)①如图2，HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH，从而得到HE，再在△HEB中，利用三角函数求得BH，即可求得时间．

②先根据三角函数求出C′H的长，重合的部分可能是四边形，也可能是三角形，分两种情况进行讨，分别原t表示出CC′、CG、CH和C′G的长，利用面积公式即可得S与t的关系式.

(Ⅰ)如图1，在矩形中，OA=4，，

∴在中，，即

∴旋转角．

作于点，于点．

在中，，

∴点到轴的距离为．

在中，，，

∴点到轴的距离为4．

故，．

(Ⅱ)①如图2，即为直线经过点时移动的距离．

在中，，

∴．

在中，，则．

∵平移速度是每秒1个单位长度，

∴直线经过点时所需的时间秒．

②过点作于点．

在中，，．

在中，．

当时，重叠部分面积为四边形，如图2．

，，．

当时，重叠部分的面积为，如图3．

，，．

∴重叠部分的面积．