Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，且s_△PAC：S_△PAB=1：3？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线y=-x+3中，
当x=0时，y=3；当y=0时，x=3；
故C（0，3），B（3，0）．
代入抛物线的解析式中，可得：
，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
由于y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故顶点坐标为（1，4）．

（2）若△QAC的周长最小，那么QA+QC最小；
由题意知：A、B关于抛物线的对称轴对称，
所以直线BC与抛物线对称轴的交点即为所求的Q点；
则有：，
解得；
故Q（1，2）．

（3）由于△PAC、△PAB等高，则它们的面积比等于底边的比，
所以PB=3PC；
设P（a，-a+3），分三种情况考虑：
①当a＜0时，P点位于BC的延长线上；
过P作PM⊥x轴于M，则有：BM=PM=3-a；
∵PM⊥x轴，CO⊥x轴，
∴PM∥CO，即△BCO∽△BPM；
得：=，
∵OC=OB=3，
∴a=-1.5，PM=BM=4.5；
故P（-1.5，4.5）；
②当0≤a≤3时，P点位于线段BC上；
同①可求得点P（）；
③当a＞3时，P点位于CB的延长线上，此时PC＞PB，此种情况不成立．
综上所述，点P的坐标为（-1.5，4.5）或（）．
分析：（1）根据直线BC的解析式，即可求出B、C两点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式，然后将所得的解析式化为顶点坐标式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
（2）由于AC的长为定值，若△QAC的周长最小，那么QA+QC的值最小；已知A、B关于抛物线的对称轴对称，那么所求的点Q必为直线BC与抛物线对称轴的交点，已知了直线BC的解析式，联立抛物线的对称轴方程，即可求得点Q的坐标．
（3）由于△PAC、△PAB同高不等底，那么它们的面积比等于底长的比，即PB=3PC，设出点P点坐标P（a，-a+3），因此：
①当P在BC延长线上，即a＜0时，过P作PM⊥x轴于M，易证得△BCO∽△BPM，根据BC、PB的比例关系，即可求出PM、BM的值，从而确定P点的坐标；
②当P在线段BC上，即0＜a＜3时，解法同上；
③当P在CB延长线上，即a＞3时，此时PC＞PB，显然不符合题意，因此此种情况不成立．
综合上面三种情况即可求得符合条件的P点坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径问题、相似三角形的判定和性质、图象面积的求法等重要知识．（3）题中，能够将三角形的面积关系，转化为线段的比例关系，是解决问题的关键．