Question

13．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁；以A₁M₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以A₁M₂为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点M_n的坐标是（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质找出M₁、M₂、M₃的坐标，根据其横纵坐标之间的关系即可找出点M_n的坐标为（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$），此题得解．

解答 解：∵正方形OA₁B₁C的边长为1，对角线A₁C和OB₁交于点M₁，
∴点M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∵以A₁M₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂，
∴点M₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
∵以A₁M₂为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃，
∴M₃（$\frac{7}{8}$，$\frac{1}{8}$）．
∵$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{7}{8}$=1-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
∴M_n（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．
故答案为：（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据部分点M_n的坐标的特点找出变化规律“M_n（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）”是解题的关键．