Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G。

（1）求证：AF=GB；

（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；（2）EF＝EG

【解析】

试题分析：（1）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；

（2）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．

（1）∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC.

∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD,

∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF.

∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF.

∴AD＝AG，BF＝BC.

∴AG＝BF，即AG-FG＝BF-FG

∴AF＝BG；

（2）∵AD∥BC

∴∠ADC＋∠BCD＝180°.

∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD,

∴∠EDC＋∠ECD＝90°.

∴∠DEC＝90°.

∴∠FEG＝90°.

因此我们只要保证添加的条件使得EF＝EG就可以了。

我们也可以添加∠GFE＝∠FGD，四边形ABCD为矩形，DG＝CF等等.

考点：平行四边形的基本性质，直角三角形的判定，角平分线的性质

点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.