Question

如图所示正方形ABCD，点E为AB上一点，在BC的延长线上截取CF=AE，EF与BD、CD分别交于点M、N，P为EF的中点，下列结论正确的个数为

 

．
①∠EDB=∠EFB；②DM=DN；③∠DNE=∠BDF；④CP⊥BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质得出DC=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∠A=∠DCF=90°，根据SAS推出△EAD≌△FCD，根据全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠FDC，求出△EDF是等腰直角三角形，推出E、B、F、D四点共圆，即可判断①；由三角形外角性质得出∠DMN=∠BDE+45°，∠DNM=45°+∠CDF=45°+∠ADE，即可判断②；根据∠DNE=45°+∠CDF=∠BDF即可判断③；连接DP、BP，求出DP=BP=

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2

EF，推出△BCP≌△DCP，根据全等得出∠DCP=∠BCP，根据等腰三角形的性质推出CP⊥BD，即可判断④正确．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∠A=∠DCF=90°，
在△EAD和△FCD中，

AD=DC ∠A=∠DCF AE=CF

，
∴△EAD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠FDC，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠DC=90°，
即△EDF是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴E、B、F、D四点共圆，
∴∠EDB=∠EFB，∴①正确；
∵△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
由三角形外角性质得：∠DMN=∠BDE+45°，∠DNM=45°+∠CDF=45°+∠ADE，
根据已知不知道∠BDE和∠ADE是否相等，
∴∠DMN和∠DNM不能推出相等，即DM=DN不一定正确，∴②错误；
∠DNE=45°+∠CDF=∠BDF，∴③正确；
连接DP、BP，
则∵∠EDF=∠EBC=90°，P位EF的中点，
∴DP=BP=

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EF，
在△BCP和△DCP中，

CP=CP DC=BC BP=DP

，
∴△BCP≌△DCP（SSS），
∴∠DCP=∠BCP，
∵DC=BC，
∴CP⊥BD（三线合一），∴④正确；
故答案为：①③④．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度偏大．