Question

16．如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果：（1）O为外心；（2）O为内心；（3）O为垂心．分别求以上三种条件下的∠BOC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理直接利用∠A的度数求得∠BOC的度数即可；
（2）根据O为△ABC的内心得到∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°得到$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=61°，从而求得∠OBC+∠OCB=61°，进一步求得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=119°；
（3）延长AO、BO、CO分别交三边于点D、E、F，根据垂心的定义得到AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，从而得到∠BOD=∠ACB，∠COD=∠ABC，求得∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°．

解答 解：（1）∵点O为△ABC的外心，
∴由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=2×58°=116°；

（2）∵O为△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=61°，
即∠OBC+∠OCB=61°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=119°；

（3）如图所示，延长AO、BO、CO分别交三边于点D、E、F，
则AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BOD=∠ACB，∠COD=∠ABC，
∴∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°．

点评 本题考查了三角形的五心的知识及三角形的内切圆与内心，三角形得出外接圆与外心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．