Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．

（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．

①直接写出四边形OEBF的面积是_______.

②求证：△OEF是等腰直角三角形.

③若OG＝，求OE的长.

（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长________．

Answer 1

【答案】（1）①16；②证明见解析；③5；（2）或．

【解析】

（1）①根据正方形的性质及旋转的性质，利用“ASA”可证△BOF≌△COE，可得S△BFO＝S△CEO，即可求解；②由全等三角形的性质可得OE＝OF，即可得结论；③由面积关系可求S△EFO＝×S四边形OEBF＝即可求OE的长；（2）过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，分两种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求PH＝10，通过证明△PFH∽△PEG，可得，即可求解．

（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝BO＝CO，AB＝BC＝8，∠ABO＝∠BCO＝45°，BD⊥AC，

∴AC＝8，

∴OA＝OC＝OB＝4，

∵将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，

∴∠FOE＝90°＝∠BOC，

∴∠FOE-∠BOE=∠BOC-∠BOE，即∠BOF＝∠COE，

在△BOF和△COE中，，

∴△BOF≌△COE（ASA）

∴S△BFO＝S△CEO，

∴四边形OEBF的面积＝S△OBC＝×4×4＝16，

故答案为16；

②∵△BOF≌△COE，

∴OE＝OF，

∵∠EOF＝90°，

∴△OEF是等腰直角三角形.

③∵OG＝，OB＝4，

∴BG＝，

∴S△BFG：S△FGO＝BG：GO＝7：25，S△BEG：S△EGO＝BG：GO＝7：25，

∴S△BEF：S△EFO＝7：25，

∵S四边形OEBF=16，

∴S△EFO＝×S四边形OEBF＝，

∵△OEF是等腰直角三角形，

∴OE2＝，

∴OE＝5.

（2）如图2，当点E在线段BC上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，

∵∠ACB＝45°，PH⊥BC，

∴∠HPC＝∠PCH＝45°，

∴PH＝HC，

∵PB2＝PH2+BH2，

∴4×26＝PH2+（PH﹣8）2，

∴PH＝10，PH＝﹣2（舍去），

∴PH＝CH＝10，

∴HB＝2，PC＝=10，

∵EC＝2，EG⊥AC，∠ACB＝45°，

∴GC＝GE=，

∴PG＝PC-GC=9，

∵∠FPE＝45°＝∠HPC，

∴∠FPH＝∠EPG，且∠PHF＝∠PGE，

∴△PFH∽△PEG，

∴，

∴，

∴HF＝，

∴BF＝HB+HF=2+＝；

当点E在BC延长线上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，

同理可得：PH＝10，EG＝CG＝，PC=10，△PFH∽△PEG，

∴，PG=PC+GC=10+=11，

∴，

∴FH＝，

∴BF＝BH-FH=2﹣＝，

综上所述：BF的长为：或，

故答案为：或