Question

如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的直径PC=4，⊙O₂的直径PD=2，连结CQ和DQ，过点Q任作另一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A、B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证：C、Q、D三点在一直线上；
（2）求证：；
（3）若PQ=2，试求∠E度数．

Answer 1

（1）证明：∵PC、PD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径，
∴∠PQC与∠PQD是直角，
∴PQ⊥CQ，PQ⊥DQ，
∴C、Q、D三点在一直线上；

（2）证明：∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径，PC=4，PD=2，
在⊙O₁中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O₂中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴===，即=；

（3）解：在Rt△PCQ中，
∵PC=4，PQ=2，
∴cos∠CPQ==，
∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r₂=2，PQ=2，
∴sin∠PDQ==，
∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵CD⊥PQ，
∴∠PQD=90°，
∴PD是⊙O₂的直径，
∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°-∠PBQ=45°
∴∠E=180°-∠CAQ-∠ABE=75°．
分析：（1）根据PC、PD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径可知∠PQC与∠PQD是直角，故PQ⊥CQ，PQ⊥DQ，由此即可得出结论；
（2）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；
（3）求出cos∠CPQ==，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．