Question

如图，P为矩形ABCD内一点，四边形BCPQ为平行四边形，E、F、G、H分别是AP、PB、BQ、QA的中点，求证：EG=FH．

Answer 1

证明：连接EH，EF，FG，GH．
∵F，G分别是BP，BQ的中点，
∴FG∥PQ且FG=PQ，
同理，EH∥PQ，FH=PQ，AB∥HG．
∴FG∥EH，且FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵PQ∥BC∥FG，
∴∠AMF=∠ABC=90°，
∵GH∥AB，
∴∠HGF=∠AMF=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∴EG=FH．
分析：根据三角形的中位线定理可以证得：FG∥EH，且FG=EH，则四边形EFGH是平行四边形，然后根据平行线的性质可以证得∠HGF=90°，则平行四边形EFGH是矩形，根据矩形的对角线相等即可证得．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，以及矩形的判定与性质，正确证得四边形EFGH是矩形是关键．