Question

【题目】已知在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=90°，点E以每秒1cm/s的速度由A向点B运动，ED⊥AC于点D，点M为EC的中点．

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形.

（2）当点E运动3秒时，求△BMD的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）.

【解析】

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM= EC，DM= EC，得出BM=DM,再由等腰三角形的性质和三角形的外角性质证出∠BMD=90°即可；

(2)由点E运动时间可求BE=12,根据勾股定理可得EC=15,进而可得BM=,进而可求的面积.

(1)∵∠ABC=90°,M为EC中点，

∴BM= EC=MC,

∴∠MBC=∠BCM,

∵DE⊥AC,M为EC中点，

∴DM= EC=MC,

∴∠MDC=∠MCD,

∴BM=DM,

∵AB=BC, ∠ABC=90°，

∴∠BCA=45°,

∵∠BME=∠MBC+∠BCM=2∠BCM,

∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD

∴∠BME+∠DME=2∠BCM+2∠MCD=2∠BCA=90°,

∴∠BMD=90°,

又∵DM=BM,

∴为等腰直角三角形.

(2) 当点E运动3秒时，AE=3×1=3cm,

∴BE=12-3=9cm,

在中，BE=9,BC=12,

∴EC= =15,

∴BM=DM= EC= ,

∴= = .

∴的面积为.