Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，点P(2,6)，B(4,0)，若以PB为边在第一象限内作等腰直角三角形△PBC，则点C的坐标为_______.

Answer 1

【答案】（10，2）或（6，4）或（8，8）.

【解析】

以PB为边在第一象限内作正方形，此时正方形的另外两个顶点、以及正方形对角线的交点为所求点C，过点P作PM⊥x轴于点M，过点作⊥x轴于点N，易证,可得M=BN,BM=,根据点P和点B的坐标可知PM与BM的长度，进而可求坐标，结合P点坐标由中点坐标公式可求的中点的坐标，然后结合点B的坐标用中点坐标公式可求点坐标，进而求得符合条件的三个点C的坐标.

如图所示，过点B作PB的垂线并截取=PB,过点P作PB的垂线并截取=PB,连接,则四边形为正方形，连接、交于点，则、、均为等腰直角三角形，此时、、即为所求的点C.

过点P作PM⊥x轴于点M，过点作⊥x轴于点N，则∠PMB= =90°,

∵=90°,

∴∠PBM+=90°,

又∵∠MPB+∠PBM=90°,+= 90°,

∴∠MPB=,∠PBM=,

又∵=PB,

∴,

∴PM=BN,BM=,

∵P(2,6)，B(4,0)，

∴PM=6,OM=2,OB=4,

∴BN=6, =2,

∴ON=10,

∴点的坐标为（10,2），

∵为的中点，P(2,6)，

∴点的坐标为（6,4），

又∵为的中点，B(4,0)，

∴点的坐标为（8,8），

故符合题意的点C的坐标为：（10，2）或（6，4）或（8，8）.