Question

在计算1+3+3²+…+3¹⁰⁰的值时，可设
S=1+3+3²+…+3¹⁰⁰，①
则3S=3+3²+3³+…+3¹⁰¹②
②-①，得2S=3¹⁰¹-1，所以S=

3101-1

2

，试利用上述方法求1+8+8²+…+8²⁰⁰⁴的值，并求1+x+x²+…+xⁿ（x≠1）的值．

Answer 1

分析：可设S=1+8+8²+…+8²⁰⁰⁴，易得8S的值，相减后两边都除以7可得所求式子的值；同理可得后面代数式的值．

解答：解：设S=1+8+8²+…+8²⁰⁰⁴①，
8S=8+8²+…+8²⁰⁰⁴+8²⁰⁰⁵②，
∴②-①，得7S=8²⁰⁰⁵-1，
∴S=

82005-1

7

；
同理可得1+x+x²+…+xⁿ=

xn+1-1

x-1

．

点评：考查计算规律的应用；采用类比的思想根据范例得到解题方法是解决本题的关键．