Question

在计算1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰的值时，可设S=1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰①则3S=3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰+3¹⁰⁰¹②
②-①得2S=3¹⁰⁰¹-1所以S=

31001-1

2

即1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰=

31001-1

2

利用上述方法计算：
（1）1+8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹
（2）1+x+x²+…xⁿ（x≠1）

Answer 1

分析：这道题求等比数列前n项的和，解决这类问题，主要是对和式乘以公比错一位相减，使中间项相消，分类求出其和．简称“错位相减法”．

解答：解：（1）设S=1+8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹①
则8S=8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹⁺8²⁰¹⁰②
②-①得：8S-S=8^2010 _1
S=

82010-1

7

；
（2）设S=1+x+x²+…xⁿ①
则xS=x+x²+…xⁿ⁺¹②
②-①得：xS-S=x^n+1   _1
S=

xn+1-1

x-1

．

点评：运用等比数列的性质，类比的思想寻求此类问题的答案．