题目内容
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm。
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由。
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）
(1)2；（2）
，当t=3时，y最小=
.（3）1s.
【解析】
试题分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解；
（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．
（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ.
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°.
∴∠DEF=∠EQC.
∴CE=CQ．
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ =t.
∴AQ=8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm .
则AP=10－2t.
∴10－2t=8－t.
解得：t=2.
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴
.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，
，
∴
．
∴PM=
.
∵BC=6cm，CE=t，
∴ BE=6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =
=
=
.
∵
，
∴抛物线开口向上.
∴当t=3时，y最小=.
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作PN⊥AC，交AC于N，
∴
.
∵
，
∴△PAN ∽△BAC.
∴
.
∴
.
∴
，
.
∵NQ=AQ－AN，
∴NQ=8－t－(
) =
．
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF =∠PNQ.
∵∠FQC =∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴
．
∴
．
∵
∴
解得：t=1.
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．
考点：1.二次函数的最值；2.线段垂直平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质．
