Question

15．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，连结对角线BD，将△BCD沿BD翻折，使点E与点C对称，BE交AD于点F．
（1）如图1，求证：∠ABF=∠EDF；
（2）如图2，当∠CBD=22.5°时，请找出BF与CD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠ABF+∠FBD=45°，根据∠FDB+∠FBD+∠FDE=90°，∠FDB=45°，于是得到∠FBD+∠FDE=45°，即可得到结论；
（2）延长DC到G使CD=CG，连接BG，于是得到∠CBG=∠CBD=22.5°，求得∠GBA=90°，证得四边形BGDF是梯形，求出∠G=∠FBG，得到四边形BGDF是等腰梯形，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵∠A=∠C=90°，AB=AD，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠FDB+∠FBD+∠FDE=90°，∠FDB=45°，
∴∠FBD+∠FDE=45°，
∴∠ABF=∠FDE；

（2）解：延长DC到G使CD=CG，连接BG，
∴∠CBG=∠CBD=22.5°，
∴∠GBA=90°，
∴四边形BGDF是梯形，∠G=90°-∠CBG=67.5°，∠FBG=∠FBD+∠DBC+∠CBG=67.5°，
∴四边形BGDF是等腰梯形，
∴BF=DG=2CD．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．