题目内容
E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
| AQ长度 | BQ长度 | AQ、BQ间的关系 | |
| 图①中 | |||
| 图②中 |
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）
解：（1）
注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分
猜想：AQ=3QB；
（2）成立
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴
，
∵E F为BD三等分点
∴
，
同理
，
∴
=4，
∴
=3，
即AQ=3BQ；
（3）成立．
分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的长度如下表；
（2）经观察发现QB，AB都与DP相关，通过证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB，AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（3）同（2）证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB、AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB．
点评：本题综合考查了平行四边形，梯形的性质，同时考查了等分点在相似三角形求相似比中的应用．
| AQ长度 | BQ长度 | AQ、BQ间的关系 | |
| 图①中 | 2.7 | 0.9 | AQ=3BQ |
| 图②中 | 3.3 | 1.1 | AQ=3BQ |
猜想：AQ=3QB；
（2）成立
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴
，∵E F为BD三等分点
∴
，同理
，∴
=4，∴
=3，即AQ=3BQ；
（3）成立．
分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的长度如下表；
（2）经观察发现QB，AB都与DP相关，通过证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB，AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（3）同（2）证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB、AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB．
点评：本题综合考查了平行四边形，梯形的性质，同时考查了等分点在相似三角形求相似比中的应用．
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