题目内容
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
求证：BD⊥CF；
(3)在(2)小题的条件下, AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=
时，求线段CM的长．
解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠
BAC=90°．
∴BD⊥CF．
(3)过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=
，
∴AE=
=2，
∴AN=FN=AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，BC=
=4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=
=．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=
=tan∠FCN=．
∴AM=AB=．
∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM=
=
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