Question

14．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}{x}^{2}+bx+c$经过B点，且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l，当l取最大值时，是否在x轴上存在一点F，在y轴上存在一点G，使四边形MFGN的周长最小？若存在，请求出点F、点G的坐标，并求出这个四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M、点N的坐标；作M关于x轴的对称点M′，作N关于y轴的对称点N′，连结M′N′分别交x轴，y轴于F，G，则MF+FG+GN的总路径最短，由题意可得：M′的坐标为（$\frac{7}{2}，-\frac{1}{2}$），N′的坐标为（-$\frac{7}{2}$，2），求得M′N′的解析式为：$y=-\frac{5}{14}+\frac{3}{4}$，从而得F的坐标为（$\frac{21}{10}$，0），G的坐标为（0，$\frac{3}{4}$），所以可以求得四边形MFGN的最小值为：MF+FG+GN+MN=M′N′+MN=$\frac{\sqrt{221}}{2}+\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{2}{3}{x}^{2}+bx+c$顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=$\frac{2}{3}（x-\frac{5}{2}）^{2}$+m
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=$\frac{2}{3}×（-\frac{5}{5}）^{2}$+m
∴m=-$\frac{1}{6}$
∴所求函数关系式为：y=$\frac{2}{3}（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x$+4．
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=$\frac{2}{3}×{5}^{2}-\frac{10}{3}×5+4$=4，
当x=2时，y=$\frac{2}{3}×{2}^{2}-\frac{10}{3}×2+$4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}$，
∵MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t，
则${y}_{M}=\frac{2}{3}{t}^{2}-\frac{10}{3}t+4$，${y}_{N}=\frac{4}{3}t-\frac{8}{3}$，
∴l=y_M-y_N=$\frac{4}{3}t-\frac{8}{3}-（\frac{2}{3}{t}^{2}-\frac{10}{3}t+4）$=-$\frac{2}{3}{t}^{2}+\frac{14}{3}t-\frac{20}{3}$=-$\frac{2}{3}（t-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{2}{3}＜0$，
∴当t=$\frac{7}{2}$时，${l}_{最大}=\frac{3}{2}$，此时点M的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），点N的坐标为（$\frac{7}{2}$，2），
如图，作M关于x轴的对称点M′，作N关于y轴的对称点N′，连结M′N′分别交x轴，y轴于F，G，

则MF+FG+GN的总路径最短，
由题意可得：M′的坐标为（$\frac{7}{2}，-\frac{1}{2}$），N′的坐标为（-$\frac{7}{2}$，2），
求得M′N′的解析式为：$y=-\frac{5}{14}x+\frac{3}{4}$，
得F的坐标为（$\frac{21}{10}$，0），G的坐标为（0，$\frac{3}{4}$），
可以求得四边形MFGN的最小值为：MF+FG+GN+MN=M′N′+MN=$\frac{\sqrt{221}}{2}+\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．在（3）中利用二次函数的最值求出点M、点N的坐标；作M关于x轴的对称点M′，作N关于y轴的对称点N′，连结M′N′分别交x轴，y轴于F，G是解决本题的关键．