题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，BC交x轴于点D.
(1)若A(-4，0)，C(0，2)，求点B的坐标；
(2)若∠EDB=∠ADC，问∠ADE与∠CAD满足怎样的关系？并证明.
(3)若AD平分∠BAC，A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n，试探究m、n之间满足怎样的关系？
【答案】（1）（2，-2）；（2）∠ADE=2∠CAD；（3）（4+n）2=4m
【解析】
（1）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再通过A，C的坐标求出B点坐标即可；（2）∠ADC为△ADB的外角，则∠ADC=∠B+∠DAB，∠AFD是△DFB的外角，∠AFD=∠B+∠EDB，再通过角度转换得到∠ADE与∠CAD的关系即可（3）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再由AD为角平分线，则△COD∽△AOH，通过相似比列出m，n的关系式即可.
（1）作BE垂直于y轴于点E，
∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCE，
在△ACO和△CBE中
∴△ACO≌△CBE（AAS）
∵A(-4，0)，C(0，2)，
∴BE=CO=2，CE=AO=4，
∴OE=2，
∴点B的坐标为（2，-2）；
（2）AB，ED的交点记为F，
∠ADC为△ADB的外角，
则∠ADC=∠B+∠DAB，
∵∠ADC=∠EDB，
∴∠EDB=∠B+∠DAB，
∵∠AFD是△DFB的外角，
∴∠AFD=∠B+∠EDB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠AFD=90°+∠FAD，
∴∠ADF=180°-（90°+∠FAD）-∠FAD=90°-2∠FAD，
∠FAD=45°-∠CAD，
∴∠ADE=90°-2（45°-∠CAD），
∴∠ADE=2∠CAD；
（3）作BE垂直于y轴于点E，AB与y轴交于点H，
∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCE，
在△ACO和△CBE中
∴△ACO≌△CBE（AAS）
∵A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n，
∴CE=AO=4，OE=-n，CO=4+n，
∵AD平分∠CAB，
则AH=AC，CO=OH，
则△COD∽△AOH，
则（4+n）2=4m
