Question

四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=1，AD=CD=2，则四边形ABCD面积为

 

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：四边形ABCD为凸四边形；四边形ABCD为凹四边形，分别作出相应的图形，求出面积即可．

解答：解：若四边形ABCD为凸四边形，连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
S_△ABC=

1

2

BC×AC=

1

2

，
且AC=

2

，
∵DE⊥AC，∴DE=

AD2-AE2

=

14

2

，
∴△ADC面积=

1

2

×AC×DE=

7

2

，
四边形ABCD面积为

1

2

+

7

2

=

7 +1

2

；
若四边形ABCD为凹四边形，连接AC，过D作DM⊥AC于M点，如图所示：

∵AB=CB=1，BM⊥AC，
∴M为AC的中点，又△ABC为直角三角形，
∴AM=MC=MB=

2

2

，
在Rt△AMD中，AD=CD=2，AM=

2

2

，
根据勾股定理得：MD=

AD2-AM2

=

14

2

，
∴BD=DM-BM=

14

2

-

2

2

，
则四边形ABCD的面积为

1

2

BD•AC=

1

2

×（

14

2

-

2

2

）×

2

=

7 -1

2

，
综上四边形ABCD的面积为

7 +1

2

或

7 -1

2

．
故答案为

7 +1

2

或

7 -1

2

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中找出四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和的等量关系是解题的关键．