Question

【题目】如图，直线与轴、轴分别交、两点，点关于原点的对称点是点．动点从出发以每秒1个单位的速度运动到点，点在线段上满足，过点作于点，点关于点的对称点为点，以为直径作，设点运动的时间为秒．

（1）当点在段上运动，______时，与的相似比为；

（2）当与轴相切时，求的值；

（3）若直线与交于点，是否存在使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 或或．

【解析】

（1）先求直线与坐标轴的交点坐标，再证△AEF∽△EDO∽△ABO，由△AEF与△EDO的相似比为，即可求得t的值；

（2）由⊙M与y轴相切可知：DG⊥y轴，分两种情况：0≤t≤3或3＜t≤6，用含的表示AE，OE，OD，BD再利用三角形的相似与点关于点的对称点为点可得答案．

（3）分三种情况：0≤t≤或 ＜t≤3或3＜t≤6，分别建立方程求解即可．

（1）由，可得：

∴OA＝3，OB＝6，，，

∴tan∠BAO＝

∵tan∠DEO＝2

∴∠BAO＝∠DEO

∵EF⊥AB ∴∠AFE＝∠DOE＝90°

∴△AEF∽△EDO∽△ABO

，即：，

∴；

∵△AEF与△EDO的相似比为，

∴ ，即

∴， 解得：；

故答案为：；

（2）与轴相切，则轴

当点在线段上时，即时，如图，此时，，则由可知，，则；又易证，故可得，又点是点关于点的对称点，所以，故；又轴，则，即，解得；

当点在线段上时，即时，如图，此时，，则，故此时，而保持不变；又轴，则，即，解得．

综上，当或时，与轴相切．

（3）当 时， ∵点A关于点F的对称点为点G，EF⊥AB

∴EG＝EA＝t ∵∠OEG＝∠OAB+∠EGA＝2∠OAB，∠OED＝∠OAB

∴∠DEG＝∠DEG ∵DG为直径 ∴∠DNG＝∠DOE=90°，又DE＝DE

∴△DEN≌△DEO（AAS）

∴

由NG＝NA得：， 解得：

同理，当时，因为点与点关于点对称，所以易得，又为的直径，所以．

如图，此时易证，所以，故有，解得．

当点在线段上时，即时，此时大致图形如图所示，设与轴的交点为点，过点作轴于点，则由面积关系可得，易得，即，又，所以，，所以，又，

所以，

又，即，

解得：

综上，当或或时，．