Question

16．如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2$\sqrt{3}$，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$-6
• D． 2

Answer 1

分析 下面介绍两种解法：
解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，得出∠AED=∠C=45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB，则$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{BC}$，设AD=2x，表示出AE和AC的长，求出AE与AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．
解法二：先通过四点共圆同理得到：△EFD为顶角为120°的等腰三角形，所以当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
再作辅助线，求AP的长，从而得EF的长，由等腰三角形三线合一及勾股定理得DE的值．

解答 解：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，
∴∠AEP=∠ADP=90°，
∴∠AEP+∠ADP=180°，
∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PDC中，∠C=45°，
∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠PED=∠PAD=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠C=45°，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{BC}$，
设AD=2x，则PD=DC=2x，AP=2$\sqrt{2}$x，
如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO=OE=OP=$\sqrt{2}$x，
∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°，
∴∠EOP=2∠EAO=30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
cos30°=$\frac{OM}{OE}$，
∴OM=$\sqrt{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AM=$\sqrt{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$，
=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}x）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}}$，
=（$\sqrt{3}$+1）x，
∴$\frac{（\sqrt{3}+1）x}{4x}$=$\frac{ED}{6-2\sqrt{3}}$，
∴ED=$\sqrt{3}$．
则线段DE的最小值为$\sqrt{3}$；
解法二：如图3，取AP的中点F，连接EF、DF，有EF=DF=$\frac{1}{2}$AP，
∠EFD=120°，
∴△EFD为顶角为120°的等腰三角形，
∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图4，作AB的中垂线，交AP于一点O，交AB于G，连接OB，
设OA=OB=2x，
∵∠BOP=2∠BAO=30°，
∴BP=x，OP=$\sqrt{3}$x，
∴AP=PC=（2+$\sqrt{3}$）x，
∵BC=6-2$\sqrt{3}$，
∴x+2x+$\sqrt{3}$x=6-2$\sqrt{3}$，
x=4-2$\sqrt{3}$，
∴AP=（2+$\sqrt{3}$）x=（2+$\sqrt{3}$）（4-2$\sqrt{3}$）=2，
∴EF=FD=1，
如图5，过F作FH⊥ED于H，
∴EH=DH，
∵∠FED=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$，
∴EH=DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$；
故选B．

点评 本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆．②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决．